Question

已知：函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞]，
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性并求f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=-1時(shí)f（x）=

x2+2x-1

x

=x-

1

x

+2
f′（x）=1+

1

x2

＞0，x∈[1，+∞]，所以f（x）在x∈[1，+∞]上是增函數(shù)，
所以x=1時(shí)f（x）取最小值，最小值為2    
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞]f（x）＞0恒成立，則

x2+2x+a

x

＞0對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，所以x²+2x+a＞0對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，令g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞]，
因?yàn)間（x）=x²+2x+a在∈[1，+∞]，上單調(diào)遞增，
所以x=1時(shí)g（x）取最小值，最小值為3+a，
∵3+a＞0，∴a＞-3．