Question

（2011•孝感模擬）若（2x-

1

2

)8展開式的第3項為56，則

lim

n→+∞

(x+x2+…+xn)=

1

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，可先由二項式的項求出第三項，根據(jù)第三項是56建立方程求出x的值，代入x+x²+…+xⁿ利用等比數(shù)列的求和公式化簡后的表達式，再求極限得出答案

解答：解：由題意T₃=C₈²×（2^X）⁶×(-

1

2

)2=56，解得x=

1

2

又x+x²+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

   ①
將x=

1

2

代入①得x+x²+…+xⁿ=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n
∴

lim

n→+∞

(x+x2+…+xn)=

lim

n→+∞

[1-(

1

2

)n]=1
故答案為：1．

點評：本題考查數(shù)列的極限，二項式的項公式，等比數(shù)列前n項和公式，數(shù)列與極限的相關(guān)題，運算量一般較大，解此類題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的公式，嚴謹運算，本題易因為運算出錯導(dǎo)致解題失敗，熟練記憶公式是解本題的重點，本題的難點是二項展開式的項，易因為項公式記錯而錯解，本題知識性強，是數(shù)學(xué)架構(gòu)題，題后注意總結(jié)此多個知識點在本題中運用的方式