Question

將二項式（

x

+

1

4 x

）⁸的展開式中所有項重新排成一列，有理式不相鄰的排法有（　　）種．

• A、A

  3 7

• B、A

  6 6

  A

  3 6

• C、A

  6 6

  A

  3 7

• D、A

  7 7

  A

  3 7

Answer 1

分析：依題意，利用二項展開式的通項公式求得所有有理式項，再利用分步乘法計數(shù)原理計算即可．

解答：解：設(shè)二項式（

x

+

1

4 x

）⁸的展開式的通項為T_r+1，
則T_r+1=

C

r 8

•(

x

)8-r•x-

r

4

=

C

r 8

•x4-

3r

4

，
∵0≤r≤8，
∴-6≤-

3r

4

≤0，-2≤4-

3r

4

≤4，又r∈Z，
∴當(dāng)r=0，4，8時，4-

3r

4

∈Z，
∴二項式（

x

+

1

4 x

）⁸的展開式中的所有有理式項共三項，
依題意，6項非有理式項自由排列，有

A

6 6

種方法，它們產(chǎn)生7個空位，讓三項有理式項插空排列有

A

3 7

中方法，
由分步乘法計數(shù)原理得：有理式不相鄰的排法有

A

6 6

A

3 7

種方法，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查二項式定理，著重考查二項展開式的通項公式，考查分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題．