Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，G為△BC₁D的重心，
（1）試證：A₁，G，C三點共線
（2）試證：A₁C⊥平面BC₁D
（3）求點C到平面BC₁D的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用向量法，證明

CG

∥

CA1

，利用

CG

與

CA1

有公共點C，可得A₁、G、C三點共線；
（2）利用向量法，證明CA₁⊥BC₁，CA₁⊥BD，即可證明A₁C⊥平面BC₁D；
（3）|

CA1

|=

3

a，因此|

CG

|=

3

3

a，即可求出點C到平面BC₁D的距離．

解答： （1）證明：

CA1

=

CB

+

BA

+

AA1

=

CB

+

CD

+

CC1

，
∴

CG

=

1

3

（

CB

+

CD

+

CC1

）=

1

3

CA1

，
∴

CG

∥

CA1

，
∵

CG

與

CA1

有公共點C，
∴A₁、G、C三點共線．
（2）證明：設(shè)

CB

=

a

，

CD

=

b

，

CC1

=

c

，
則|

a

|=|

b

|=|

c

|=a，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=0，
∵

CA1

=

a

+

b

+

c

，

BC1

=

c

-

a

，
∴

CA1

•

BC1

=（

a

+

b

+

c

）•（

c

-

a

）=0，
∴

CA1

⊥

BC1

，即CA₁⊥BC₁，
同理可證：CA₁⊥BD，
因此A₁C⊥平面BC₁D．
（3）解：∵

CA1

=

a

+

b

+

c

，
∴

CA1

²=

a

²+

b

²+

c

²=3a²，
即|

CA1

|=

3

a，因此|

CG

|=

3

3

a．
即C到平面BC₁D的距離為

3

3

a．

點評：本題考查點共線，考查線面垂直，考查C到平面BC₁D的距離，正確運用向量是關(guān)鍵．