【題目】如圖,在正方體中, 分別是棱的中點(diǎn), 為棱上一點(diǎn),且異面直線與所成角的余弦值為.
(1)證明: 為的中點(diǎn);
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨令正方體的棱長為2,設(shè),利用,解得,即可證得;
(2)分別求得平面與平面的法向量,利用求解即可.
試題解析:
(1)證明:以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨令正方體的棱長為2,
則, , , , ,
設(shè),則, ,
所以 ,
所以,解得(舍去),即為的中點(diǎn).
(2)解:由(1)可得, ,
設(shè)是平面的法向量,
則.令,得.
易得平面的一個法向量為,
所以.
所以所求銳二面角的余弦值為.
點(diǎn)睛:空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知橢圓的短軸長為2,且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線過定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱, 為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍及面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)橢圓的短軸長為,得,再由橢圓上一點(diǎn)列方程求解即可;
(2)設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立得,利用韋達(dá)定理求得線段的中點(diǎn)為,代入直線可得, ,結(jié)合即可求得的取值范圍,再求和原點(diǎn)到直線的距離,通過,利用韋達(dá)定理代入求最值即可.
試題解析:
(1)∵橢圓的短軸長為2,∴,即.
又點(diǎn)在上,∴,∴.
∴橢圓的方程為.
(2)由題意設(shè)直線的方程為,
由,消去得, ,
∴,即,①
且, ,
∴線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),
即線段的中點(diǎn)為.
將代入直線可得, ,②
由①,②可得, ,∴.
又 ,
且原點(diǎn)到直線的距離,
∴ ,
∵,∴,∴當(dāng)時, 取得最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
(1)討論的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)將函數(shù)的圖象向下平移1個單位后得到的圖象,且為自然對數(shù)的底數(shù))和是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn),求的值并證明: 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3.
(I) 求a+b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=﹣x2﹣ax﹣b,若對于x≥a均有g(shù)(x)<f(x),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在[﹣ , ]的函數(shù)f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)僅有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.( ,2]
B.(﹣∞, )∪[2,+∞)
C.[﹣ , )
D.(﹣∞,﹣ ]∪( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中及圖中的值;
(2)若該校高一學(xué)生有800人,試估計該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù).
【答案】(1), , ;(2)人.
【解析】試題分析:(1)由題意, 內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以,則, .(2)高一學(xué)生有800人,分組內(nèi)的頻率是,人數(shù)為人.
試題解析:
(1)由內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知, ,所以.
因?yàn)轭l數(shù)之和為40,所以, .
.
因?yàn)?/span>是對應(yīng)分組的頻率與組距的商,所以.
(2)因?yàn)樵撔8咭粚W(xué)生有800人,分組內(nèi)的頻率是,
所以估計該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與交于兩點(diǎn).
(1)設(shè)為上一動點(diǎn), 到直線的距離為,點(diǎn),求的最小值;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上,求a的值;
(2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3),線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個公共點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , (其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;
(2)記函數(shù),其中,若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意, ,且,均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N* .
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,求{bn}的前n項和.
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