Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

4

）=

1

2

f（x），且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），則f（

1

2010

）的值為（　�。�

• A、

  1

  256

• B、

  1

  128

• C、

  1

  64

• D、

  1

  32

Answer 1

分析：能靈活運(yùn)用題目中的條件f（x）+f（1-x）=1，f（

x

4

）=

1

2

f（x）解決問(wèn)題．理解 當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂）的含義并能對(duì)抽象函數(shù)的解題思路了如指掌．

解答：解：由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1 又令x=

1

2

得：f(

1

2

) =

1

2

  
由f（

x

4

）=

1

2

f（x）得：f(

1

4

) =

1

2

f(1)=

1

2

∵當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），∴當(dāng)

1

4

≤x ≤

1

2

時(shí)，f(x)=

1

2

 
當(dāng)

1

2

≤x ≤

3

4

時(shí)，

1

4

≤1-x≤ 

1

2

，∴f(1-x)=

1

2

，∴f(x)=1- f(1-x)= 1-

1

2

=

1

2

又由f（

x

4

）=

1

2

f（x）得：f(

1

2010

) =

1

2

f(

2

1005

) =

1

4

f(

8

1005

)=

1

8

f(

32

1005

)=

1

16

f(

128

1005

)=

1

32

f(

512

1005

)
∵

1

2

＜

512

1005

＜

3

4

，∴f(

512

1005

) =

1

2

，∴f(

1

2010

) =

1

32

×

1

2

=

1

64

故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了抽象函數(shù)與單調(diào)性問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了特值的思想、函數(shù)的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．