Question

已知函數f（x）=（1+）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數f（x）的零點；
（Ⅱ）討論y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）在區(qū)間（-∞，-]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求函數f（x）的零點，先求出f（x）=0的解，即可得到函數f（x）的零點；
（Ⅱ）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在定義域內求出f′（x）=0的值x₁=，再討論點x₁=附近的導數的符號的變化情況，從而得到函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）先利用作差法比較x₁與-a的大小，從而得到x₁＜-a＜-＜0，又函數在（x₁，0）上是減函數，則函數在區(qū)間（-∞，-]上的最小值為f（-），求出f（-）即可．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=0，得x=-a，所以函數f（x）的零點為-a．（2分）
（Ⅱ）函數f（x）在區(qū)域（-∞，0）上有意義，f′（x）=，（5分）
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=，
因為a＞0，所以x₁＜0，x₂＞0．（7分）
當x在定義域上變化時，f'（x）的變化情況如下：

所以在區(qū)間（-∞，）上f（x）是增函數，（8分）
在區(qū)間（，0）上f（x）是減函數．（9分）
（Ⅲ）在區(qū)間（-∞，-]上f（x）存在最小值f（-）．（10分）
證明：由（Ⅰ）知-a是函數f（x）的零點，
因為-a-x₁=-a-=＞0，
所以x₁＜-a＜0，（11分）
由知，當x＜-a時，f（x）＞0，（12分）
又函數在（x₁，0）上是減函數，且x₁＜-a＜-＜0，
所以函數在區(qū)間（-x₁，-]上的最小值為f（-），且f（-）＜0，（13分）
所以函數在區(qū)間（-∞，-]上的最小值為f（-），
計算得f（-）=-．（14分）
點評：本題主要考查了函數的零點，不等式的性質，不等式的證明，導數的應用，以及分析問題能力，屬于中檔題．