Question

一條直線經(jīng)過拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F，且交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為x=ty+

1

2

，與拋物線方程聯(lián)立

y2=2x x=ty+ 1 2

得y²-2ty-1=0，利用韋達(dá)定理就，及用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算向量的數(shù)量積，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（t2+

1

2

，t）．先確定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，確定C（-

1

2

，t3+2t），利用|CM|=

3

2

|AB|，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-

1

2

，m），直線AB的方程為x=ty+

1

2

．
由

y2=2x x=ty+ 1 2

得y²-2ty-1=0，則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-1．
于是x1+x2=t(y1+y2)+1=2t2+1，x1x2=

y 2 1

2

•

y 2 2

2

=

1

4

．…3
∵

CA

=(x1+

1

2

，y1-m)，

CB

=(x2+

1

2

，y2-m)，
于是

CA

•

CB

=x1x2+

1

2

(x1+x2)+

1

4

+y1y2-m(y1+y2)+m2=t2-2mt+m2=(t-m)2≥0，
所以∠ACB不可能是鈍角．…2
（Ⅱ）解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（t2+

1

2

，t）．
①若直線AB的斜率不存在，這時(shí)t=0，A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），點(diǎn)C的坐標(biāo)只可能是（-

1

2

，0）．
由|CM|=

3

2

|AB|得1=

3

2

•2，這是不可能的，于是AB的斜率必存在．…3
②由CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，即

t-m

t2+ 1 2 + 1 2

•

1

t

=-1，得m=t³+2t，從而C（-

1

2

，t3+2t）．
|CM|=

(t2+ 1 2 + 1 2 )2+(t3+2t-t)2

=(t2+1)

t2+1

，
|AB|=

(t2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(t2+1)(4t2+4)

=2(t2+1)．
由|CM|=

3

2

|AB|得(t2+1)

t2+1

=

3

2

•2(t2+1)，解之得t=±

2

．
此時(shí)點(diǎn)C（-

1

2

，±4

2

）．故存在點(diǎn)C（-

1

2

，±4

2

），使得△ABC是正三角形．…6

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查向量知識(shí)，考查存在性問題，解題的關(guān)鍵直線與拋物線的聯(lián)立，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理求解．