Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

n

4an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1可求得a₂，n≥2時(shí)，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，兩式相減得到遞推式，由遞推式可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)情形；
（2）由（1）表示出b_n，運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=S₁+1=a₁+1=2；                      
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，兩式相減得，a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知a_n=2^n-1，
∴b_n=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
兩式相減得，

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．