Question

7．已知R上的連續(xù)函數(shù)g（x）滿足：
①當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；
②對任意的x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），又函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈R，都有$f（\sqrt{3}+x）=f（x-\sqrt{3}）$成立．
當(dāng)$x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$時，f（x）=x³-3x．若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a∈R
• B． 0≤a≤1
• C． $-\frac{1}{2}-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}≤a≤-\frac{1}{2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． a≤0或a≥1

Answer 1

分析 由題意，g（x）是偶函數(shù)，（0，+∞）單調(diào)知識，f（x）是奇函數(shù)，且是周期函數(shù)，周期為2$\sqrt{3}$，關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，轉(zhuǎn)化為|f（x）|_max≤a²-a+2，即可求出a的取值范圍．

解答 解：由題意，g（x）是偶函數(shù)，（0，+∞）單調(diào)知識，f（x）是奇函數(shù)，且是周期函數(shù)，周期為2$\sqrt{3}$，
當(dāng)$x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$時，f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x+1）（x-1），函數(shù)在x=-1處取得極大值2，x=1處取得極小值-2，
∵關(guān)于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對$x∈[-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}，\frac{3}{2}+2\sqrt{3}]$恒成立，
∴|f（x）|_max≤a²-a+2，
∴a²-a+2≥2，
∴a²-a≥0，
∴a≤0或a≥1，
故選D．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．