Question

已知向量a=(x²,x+1),b=(1-x,t).若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.

Answer 1

思路分析:本題體現(xiàn)了高考重視對新增內(nèi)容的考查以及常在知識交匯處設計問題的思想.利用向量的數(shù)量積運算求出f(x),利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題,然后用函數(shù)的思想方法求解.

解:法一:由題意得f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

則f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上可設f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立.

考慮函數(shù)g(x)=3x²-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x=,開口向上的拋物線,故t≥3x²-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立t≥g(-1),即t≥5.

而t≥5時,f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).

∴t的取值范圍是t≥5.

法二:由題意得f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

則f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上可設f′(x)≥0.

∵f′(x)的圖象是開口向下的拋物線,

∴當且僅當f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t-5≥0時,f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).

∴t的取值范圍是t≥5.

    深化升華 本題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識,要學會恒成立問題的解法.