Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PA=$\sqrt{3}$，PA⊥面ABCD，E、F分別為BC、PA的中點．
（1）求證：BF∥平面PDE；
（2）求二面角D-PE-A的正弦值；
（3）求點C到平面PDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取PD中的G，連結(jié)GF、GE，得到四邊形BFGE是平行四邊形，即可得到BF∥平面PDE．
（Ⅱ）作DH⊥AE與E，作HI⊥PE于I，連結(jié)DI，可得∠DIH即為二面角D-PE-A的平面角，
在直角△DIH中，求解sin∠DIH即可
（Ⅲ）設(shè)點C到平面PDE的距離為h，
由V_P-CDE=V_C-PDE，求得h，即為點C到平面PDE的距離

解答 解：（1）如圖所示，取PD中的G，連結(jié)GF、GE，
∵E、F分別為BC、PA的中點．∴FG∥BE，F(xiàn)G=BE．
所以四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥平面PDE．
（Ⅱ）作DH⊥AE與E，作HI⊥PE于I，連結(jié)DI，可得DH⊥面PAB，
∴DH⊥PE，又因為PE⊥HI，HI∩DH=H，∴PE⊥面DIH，∴PE⊥DI
∴∠DIH即為二面角D-PE-A的平面角，
在直角△DIH中，sin∠DIH=$\frac{DH}{DI}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
∴二面角D-PE-A的正弦值為$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．
（Ⅲ）設(shè)點C到平面PDE的距離為h，
∵V_P-CDE=V_C-PDE，∴$\frac{1}{3}{s}_{△CDE}×PA=\frac{1}{3}{s}_{△PDE}×h$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{7}×h$，解得h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴點C到平面PDE的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本小題主要考查直線平行與平面的判定，以及幾何法求二面角，等體積法求點面距離，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．