Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S，且對(duì)于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，設(shè)b_n=log₂（a_n+1）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
（2）若cn=

2bn

an•an+1

，證明：c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-n，得a₁=1，S_n-1=2a_n-1-（n-1），所以a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．由a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，知b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（3）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，所以{C_n}也為正項(xiàng)數(shù)列，從而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以數(shù)列{c_n}遞減，由此能夠證明c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．

解答：解：（1）當(dāng)n=l時(shí)，S₁=2a₁-1，得a₁=1，∵S_n=2a_n-n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N⁺，∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N⁺．
（2）Cn=

2n

anan+1

，Cn+1=

2n+1

an+1an+2

，由{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，所以{C_n}也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而

Cn+1

Cn

=

2an

an+2

=

2(2n-1)

2n+2-4

=

1

2

，所以數(shù)列{c_n}遞減，
所以c1+c2+…+cn＜ c1+

1

2

c1+(

1

2

)2c1+…+(

1

2

)n-1c1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

•c1＜ 

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法、數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算和遞減數(shù)列前n項(xiàng)和最大值的證明，解題時(shí)要合理地運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)．