Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

[x²-2（2a-1）x+8]（a∈R）
（1）若使函數(shù)f（x）在[a，+∞﹚上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，求y=f（sin(2x-

π

3

)），x∈[

π

12

，

π

2

]的值域．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=-1+log

1

2

(x+3)在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）在[a，+∞﹚上為減函數(shù)，建立不等式組，即可求a的取值范圍；
（2）確定y=f（sin(2x-

π

3

)），結(jié)合三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)的值域；
（3）原方可化為x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即4a=x+

2

x

，x∈[1，3]，根據(jù)在[1，3]上有且只有一解，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在[a，+∞﹚上為減函數(shù)，
∴

2a-1≤a a2-2(2a-1)a+8＞0

∴-

4

3

＜a≤1；
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，f(x)=log

1

2

(x2-x+8)
∴y=f（sin(2x-

π

3

)）=log

1

2

[sin(2x-

π

3

)-

1

2

]2+

31

4

，
∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1
∴函數(shù)的值域?yàn)閇log

1

2

10，log

1

2

35

4

]；
（3）原方可化為x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即4a=x+

2

x

，x∈[1，3]，由雙勾圖形可知：3＜4a≤

11

3

或4a=2

2

，
即

3

4

＜a≤

11

12

或a=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．