Question

11．給出以下結(jié)論：
①直線l₁，l₂的傾斜角分別為α₁，α₂，若l₁⊥l₂，則|α₁-α₂|=90°；
②對任意角θ，向量$\overrightarrow{e_1}$=（cosθ，sinθ）與$\overrightarrow{e_2}$=（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，$\sqrt{3}$cosθ+sinθ）的夾角為$\frac{π}{3}$；
③若△ABC滿足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{cosA}$，則△ABC一定是等腰三角形；
④對任意的正數(shù)a，b，都有1＜$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt}}{{\sqrt{a+b}}}$≤$\sqrt{2}$．
其中錯誤結(jié)論的編號是③．

Answer 1

分析 ①直線l₁，l₂的傾斜角分別為α₁，α₂，若l₁⊥l₂，α₁-α₂=±90°，即可判斷出正誤；
②由|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1，利用cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|}$，即可判斷出正誤；
③由△ABC滿足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{cosA}$，利用正弦定理、倍角公式可得：sin2A=sin2B，又A，B∈（0，π），可得A=B，A+B=$\frac{π}{2}$，即可判斷出正誤；
④對任意的正數(shù)a，b，由配方作差可得：$\sqrt{a}+\sqrt$＞$\sqrt{a+b}$，利用基本不等式可得2（a+b）≥$（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}$，j即可判斷出正誤．

解答 解：①直線l₁，l₂的傾斜角分別為α₁，α₂，若l₁⊥l₂，α₁-α₂=±90°，∴|α₁-α₂|=90°，因此正確；
②對任意角θ，向量$\overrightarrow{e_1}$=（cosθ，sinθ）與$\overrightarrow{e_2}$=（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，$\sqrt{3}$cosθ+sinθ），|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=$\sqrt{（cosθ-\sqrt{3}sinθ）^{2}+（\sqrt{3}cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ•（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）+sinθ（$\sqrt{3}$cosθ+sinθ）=1，∴cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{1}}||\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，可得其夾角為$\frac{π}{3}$，正確；
③若△ABC滿足$\frac{a}{cosB}$=$\frac{cosA}$，則sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，又A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此不正確；
④對任意的正數(shù)a，b，∵$（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}$-$（\sqrt{a+b}）^{2}$=2$\sqrt{ab}$＞0，∴$\sqrt{a}+\sqrt$＞$\sqrt{a+b}$，即$\frac{\sqrt{a}+\sqrt}{\sqrt{a+b}}$＞1；2（a+b）≥$（\sqrt{a}+\sqrt）^{2}$，∴$\frac{\sqrt{a}+\sqrt}{\sqrt{a+b}}$≤$\sqrt{2}$，因此1＜$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt}}{{\sqrt{a+b}}}$≤$\sqrt{2}$，正確．
綜上可得：只有③錯誤．
故答案為：③．

點評 本題考查了直線的傾斜角、正弦定理、三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、向量夾角公式、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．