Question

如圖所示，已知圓C：(x+1)²+y²=8，定點(diǎn)A(1，0)，M為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足，點(diǎn)N的軌跡為曲線E，
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)S（0，）且斜率為k的動直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)G，滿足使四邊形NAPB為矩形？若存在，求出G的坐標(biāo)和四邊形NAPB面積的最大值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1），
∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|，
又，
∴，
∴動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且橢圓長軸長為，焦距2c=2，
∴，
∴曲線E的方程為。
（2）動直線l的方程為：，
由，得，
設(shè)，
則，
假設(shè)在y上存在定點(diǎn)G（0，m），滿足題設(shè)，
則，


，
由假設(shè)得對于任意的恒成立，即，解得m=1。
因此，在y軸上存在定點(diǎn)G，使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1），
這時，點(diǎn)G到AB的距離，

，
設(shè)，則，
得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。
因此，GAPB面積的最大值是。