Question

已知函數(shù)f（x²-3）=lg．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）整體代換的思路用換元法求解析式，設(shè)x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函數(shù)，求出f（t），即f（x）的表達式
（2）通過（1）的解析式判斷奇偶性，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明．
（3）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．
解答：解：（1）設(shè)x²-3=t，因為所以t＞或t＜-，則x²=t+3，
所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=lg，由＞0得定義域為{t|t＞3或t＜-3}
即f（x）=lg，定義域為{x|x＞3或x＜-3}
（2）由（1）知定義域{x|x＞3或x＜-3}關(guān)于原點對稱，
而f（-x）=lg=lg=lg（x-3）-lg（x+3）
f（x）=lg=lg（x+3）-lg（x-3）
所以，f（-x）+f（x）=0
即f（-x）=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)．
（3）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg=lgx
即：=x
解得：φ（x）=
則：φ（3）=6
點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性的求解，第三問為創(chuàng)新型題目，為中檔題