求與兩定點(diǎn)A、B滿足|PA|2-|PB|2=k2（k是常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

思路解析：求軌跡方程通常采用直接法，根據(jù)題目給出的條件，按照上面五個(gè)步驟求解即可.

解法一：如上圖，取兩定點(diǎn)A和B的連線為x軸，過(guò)AB的中點(diǎn)且與AB垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（-a，0）、B（a，0）、P（x，y）,則

|PA|2=（x+a）2+y2，|PB|2=（x+a）2+y2.

據(jù)題意，|PA|2-|PB|2=k2，有［（x+a）2+y2］-［（x-a）2+y2］=k2，得4ax=k2.

由于k是常數(shù)，且a≠0，所以x=為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條垂直于x軸的直線.

解法二：如上圖，取A與B兩點(diǎn)的連線為x軸，過(guò)A點(diǎn)且與AB垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系.

設(shè)A（0，0）、B（a，0）、P（x，y）,則|PA|2=x2+y2，|PB|2=（x-a）2+y2.

據(jù)題意，|PA|2-|PB|2=k2，有（x2+y2）-［（x-a）2+y2］=k2，

得x=，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x=，它是平行于y軸的一條直線.

解法三：如上圖建立坐標(biāo)系，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），則

|PA|2=（x-x1）2+(y-y1)2,

|PB|2=（x-x2）2+(y-y2)2,

據(jù)題意，|PA|2-|PB|2=k2,有［（x-x1）2+(y-y1)2］-［（x-x2）2+(y-y2)2］=k2，

整理后，得到點(diǎn)P的軌跡方程為

2（x2-x1）x+2（y2-y1）y+x12+y12-x22-y22-k2=0，它是一條直線.

深化升華

    由上面介紹的三種解法可以看到：對(duì)于同一條直線，在不同的坐標(biāo)系中，方程不同.適當(dāng)建立坐標(biāo)系如解法一、解法二得到的方程形式簡(jiǎn)單、特征明顯，一看便知是直線.而解法三得到的方程煩瑣、冗長(zhǎng)，若以此為基礎(chǔ)研究其他問(wèn)題，會(huì)引起不必要的麻煩.因此，在求曲線方程時(shí)，根據(jù)具體情況適當(dāng)選取坐標(biāo)系十分重要.另外，也要注意到本題所求的是軌跡的方程，在作解答表述時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)曲線的方程，而不是曲線.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，
（1）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）如圖，過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）如圖，過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：中學(xué)教材標(biāo)準(zhǔn)學(xué)案　數(shù)學(xué)　高二上冊(cè) 題型：044

求與兩定點(diǎn)A、B滿足|PA|2－|PB|2＝4的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

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