在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸進(jìn)線的平行線,求該直線與另一條漸進(jìn)線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.
【答案】分析:(1)求出雙曲線的漸近線方程,求出直線與另一條漸進(jìn)線的交點(diǎn),然后求出三角形的面積.
(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,通過直線PQ與已知圓相切,得到b2=2,通過求解=0.證明PO⊥OQ.
(3)當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí),直接求出O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí),設(shè)直線ON的方程為:y=kx,(顯然|k|>),推出直線OM的方程為y=,利用,求出,,設(shè)O到直線MN的距離為d,通過(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,求出d=.推出O到直線MN的距離是定值.
解答:解:(1)雙曲線C1左頂點(diǎn)A(-),
漸近線方程為:y=±x.
過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=(x+),即y=,
所以,解得
所以所求三角形的面積為S=
(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,
因直線PQ與已知圓相切,故
即b2=2,由
得x2-2bx-b2-1=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
又y1y2=(x1+b)(x2+b).
所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2
=b2-2=0.
故PO⊥OQ.
(3)當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí),|ON|=1,|OM|=,則O到直線MN的距離為
當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí),設(shè)直線ON的方程為:y=kx,(顯然|k|>),
則直線OM的方程為y=,由
,
所以
同理
設(shè)O到直線MN的距離為d,
因?yàn)椋▅OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2
所以==3,
即d=
綜上,O到直線MN的距離是定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的綜合,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,設(shè)而不求的解題方法,點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計(jì)算能力.
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2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
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3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
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1
2

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(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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