Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1．
（1）過C₁的左頂點(diǎn)引C₁的一條漸進(jìn)線的平行線，求該直線與另一條漸進(jìn)線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設(shè)橢圓C₂：4x²+y²=1，若M、N分別是C₁、C₂上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸進(jìn)線的交點(diǎn)，然后求出三角形的面積．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b²=2，通過求解=0．證明PO⊥OQ．
（3）當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí)，直接求出O到直線MN的距離為．當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），推出直線OM的方程為y=，利用，求出，，設(shè)O到直線MN的距離為d，通過（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=．推出O到直線MN的距離是定值．
解答：解：（1）雙曲線C₁：左頂點(diǎn)A（-），
漸近線方程為：y=±x．
過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，
所以，解得．
所以所求三角形的面積為S=．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故，
即b²=2，由，
得x²-2bx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．
所以=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）當(dāng)直線ON垂直x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為．
當(dāng)直線ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），
則直線OM的方程為y=，由
得，
所以．
同理，
設(shè)O到直線MN的距離為d，
因?yàn)椋▅OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以==3，
即d=．
綜上，O到直線MN的距離是定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力．