Question

已知如圖10-21，斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

 

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大��；

 

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大�。�

 

（Ⅲ）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離

圖10-21

Answer 1

(Ⅰ)解：作A₁D⊥AC，垂足為D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC

∴∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角

∵AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

∴∠A₁AD＝45°為所求.

 

(Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中點(diǎn)，BC＝2，AC＝2，

∴DE＝1，AD＝A₁D＝，tg∠A₁ED＝＝．

故∠A₁ED＝60°為所求.

 

(Ⅲ)

方法一：由點(diǎn)C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A₁ABB₁的距離.

連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，

∴∠HBC＝∠A₁ED＝60°

∴CH＝BCsin60°＝為所求.

 

方法二：連結(jié)A₁B.

 

根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A₁ABB₁的距離，即為三棱錐C－A₁AB的高h(yuǎn).

由V_錐C－A1AB＝V_錐A1－ABC得S_△AA1B·h＝S_△ABC·A₁D，

 

即×2h＝×2×3

 

∴h＝為所求.