Question

已知數(shù)列，滿足，，，．

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，()，使得，，成等差數(shù)列？若存在，試用表示，；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1），（2）當(dāng)時(shí)，不存在，滿足題設(shè)條件；當(dāng)時(shí)，存在，，滿足題設(shè)條件．

【解析】

試題分析：（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，就是確定為一個(gè)常數(shù).因此首先得到關(guān)于與的關(guān)系式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908460651492488_DA/SYS201411171908460651492488_DA.012.png">，所以，則，然后按提示，將所求關(guān)系式進(jìn)行變形，即取倒數(shù)，得：，又，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，所以.（2）先明確數(shù)列，由(1)得，所以，然后假設(shè)存在，得一等量關(guān)系：若，，成等差數(shù)列，則，如何變形，是解題的關(guān)鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908460651492488_DA/SYS201411171908460651492488_DA.034.png">，所以分情況討論，當(dāng)時(shí)，，，，成等差數(shù)列不成立．當(dāng)時(shí)，，，即．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908460651492488_DA/SYS201411171908460651492488_DA.044.png">，所以，

則， 2分

所以，

又，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 4分

即，所以． 6分

（2）由（1）知，所以，

①當(dāng)時(shí)，，，，

若，，成等差數(shù)列，則（），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908460651492488_DA/SYS201411171908460651492488_DA.066.png">，所以，，，，

所以（）不成立． 9分

②當(dāng)時(shí)，若，，成等差數(shù)列，

則，所以，

即，所以， 12分

欲滿足題設(shè)條件，只需，此時(shí)， 14分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908460651492488_DA/SYS201411171908460651492488_DA.082.png">，所以，，

即． 15分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在，滿足題設(shè)條件；

當(dāng)時(shí)，存在，，滿足題設(shè)條件． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，等差數(shù)列綜合應(yīng)用