Question

已知直線(xiàn)2x-y+m=0和圓x²+y²=5相交于兩點(diǎn)A、B，
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，弦AB最長(zhǎng)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)弦為最長(zhǎng)時(shí)，得到已知直線(xiàn)過(guò)圓心，故把圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程即可求出m的值；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)圓心O作出弦心距OC，根據(jù)垂徑定理得出C為弦AB的中點(diǎn)，從而由弦AB的長(zhǎng)求出|AC|的長(zhǎng)，再由半徑r的值，利用勾股定理求出|OC|的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到直線(xiàn)的距離d，令d等于求出的|OC|列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）當(dāng)弦AB最長(zhǎng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)圓心，
把圓心坐標(biāo)（0，0）代入直線(xiàn)方程得：m=0，
則m=0時(shí)，弦AB最長(zhǎng)；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

過(guò)O作OC⊥AB，垂足為C，則有|AC|=|BC|=

1

2

|AB|=1，
又圓的半徑r=

5

，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：|OC|=

( 5 )2-12

=2，
則圓心到直線(xiàn)的距離d=

|m|

5

=2，
解得m=±2

5

．
則當(dāng)m=2

5

或-2

5

時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，垂徑定理以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常利用弦心距，弦長(zhǎng)得一半以及圓的半徑構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題．