Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當△OAB的面積等于時，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明OA⊥OB可有兩種思路：①證k_OA•k_OB=-1；②取AB中點M，證|OM|=|AB|．
（2）求k的值，關鍵是利用面積建立關于k的方程，求△AOB的面積也有兩種思路：①利用S_△OAB=|AB|•h（h為O到AB的距離）；②設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線和x軸交點為N，利用S_△OAB=|AB|•|y₁-y₂|．
解答：解：（1）由方程y²=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky²+y-k=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韋達定理y₁•y₂=-1．
∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=•===-1，
∴OA⊥OB．
（2）設直線與x軸交于N，又顯然k≠0，
∴令y=0，則x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=|ON||y₁|+|ON||y₂|
=|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=•1•
=．
∵S_△OAB=，
∴=．解得k=±．
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，拋物線的應用，其中聯(lián)立方程、設而不求、韋達定理三者綜合應用是解答此類問題最常用的方法，但在解方程組時，是消去x還是消去y，這要根據(jù)解題的思路去確定．當然，這里消去x是最簡捷的．