Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意的正整數(shù)n，ka_n，（k-1）a_n+1，（k-2）a_n+2都成等差數(shù)列，求實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用ka_n，（k-1）a_n+1，（k-2）a_n+2都成等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的通項公式建立等式，即可求實數(shù)k的值．
解答：解：（I）當n=1時，a₂=S₁+1=2；       …（2分）
當n≥2時，因為a_n+1-a_n=S_n+1-（S_n-1+1）=a_n，所以a_n+1=2a_n．…（5分）
又a₂=2a₁，所以{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．…（7分）
（Ⅱ）由題意得2（k-1）a_n+1=ka_n+（k-2）a_n+2，…（10分）
即2（k-1）2ⁿ=k•2^n-1+（k-2）2ⁿ⁺¹，…（12分）
解得k=4．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．