Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，D為棱BB₁上一點，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C．
（1）求證：D為棱BB₁中點；
（2）

AA1

AB

為何值時，二面角A-A₁D-C的平面角為60°．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥A₁C于E點，取AC的中點F，連BF，EF．先證明DE⊥面AA₁C₁C，再證明D，E，F(xiàn)，B共面，進而有EF∥AA₁，又點F是AC的中點，即可得到結(jié)論；
（2）過B作BH⊥A₁G于點H，由三垂線定理知，A₁G⊥CH，則可得∠CHB為二面角A-A₁D-C的平面角，利用二面角A-A₁D-C的平面角為60°，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：過點D作DE⊥A₁C于E點，取AC的中點F，連BF，EF．

∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C內(nèi)的直線DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC為等腰三角形，∴BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，
又BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF，從而有EF∥AA₁，又點F是AC的中點，
所以DB=EF=

1

2

AA1=

1

2

BB1
所以D為棱BB₁中點；
（2）解：延長A₁D與直線AB相交于G，則CB⊥面AA₁B₁B
過B作BH⊥A₁G于點H，由三垂線定理知，A₁G⊥CH
由此可知∠CHB為二面角A-A₁D-C的平面角
設(shè)AA1=2b，AB=BC=a，則在直角△A₁AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=

BD•BG

DG

=

b•a

a2+b2

；
在直角△CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a2+b2

b

，
∵二面角A-A₁D-C的平面角為60°，
∴

a2+b2

b

=tan60°=

3

∴

2b

a

=

2

∴

AA1

AB

=

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查面面角，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．