Question

（2000•上海）在XOY平面上有一點(diǎn)列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)P，位于函數(shù)y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)的圖象上，且點(diǎn)P_n，點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1.0）構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．
（Ⅰ）求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a�。�2）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列{B_n}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）利用點(diǎn)P_n，點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1.0）構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形，可得點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在兩點(diǎn)（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，求出a_n，即可求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）函數(shù)y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)遞減，可得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，進(jìn)而由b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，可得b_n+2+b_n+1＞b_n，由此可求a的取值范圍；
（III）確定數(shù)列{B_n}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式b_n≥1且b_n+1＜1，即可確定結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，∵點(diǎn)P_n，點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1.0）構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形，
∴點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在兩點(diǎn)（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，
∴an=n+

1

2

，∴bn=2000(

a

10

)n+

1

2

，…（4分）
（II）∵函數(shù)y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)遞減，
∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，有b_n＞b_n+1＞b_n+2，則以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是b_n+2b_n+1b_n，
即(

a

10

)2+(

a

10

)-1＞0…（7分）
解得a＜-5(1+

5

)或a＞5(

5-1

)
∴5(

5

-1)＜a＜10，…（10分）
（III）∵5(

5

-1)＜a＜10，a�。�2）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，
∴a=7，
∴bn=2000(

7

10

)n+

1

2

…（12分）
∴數(shù)列{b_n}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2，B_n=b_nB_n-1，
于是當(dāng)b_n≥1時(shí)，B_n≥B_n-1，當(dāng)b_n＜1時(shí)，B_n＜B_n-1，
因此，數(shù)列{B_n}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式b_n≥1且b_n+1＜1．
由bn=2000(

7

10

)n+

1

2

≥1得n≤20.8，
∴n=20．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵，屬于中檔題．