Question

已知向量

OP

=（2cos（

π

2

+x），-1），

OQ

=（-sin（

π

2

-x），cos2x），f（x）=

OP

.

OQ

．若a，b，c分別是銳角△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且滿足f（A）=1，b+c=5+3

2

．a(chǎn)=

13

，則△ABC的面積為

 

．•

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)可得f（x），再由特殊角的三角函數(shù)值，可得角A，再由余弦定理和面積公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：向量

OP

=（2cos（

π

2

+x），-1），

OQ

=（-sin（

π

2

-x），cos2x），
則f（x）=

OP

•

OQ

=-2cos（

π

2

+x）sin（

π

2

-x）-cos2x=2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
由f（A）=1即

2

sin（2A-

π

4

）=1，由于A為銳角，則2A-

π

4

=

π

4

，
則A=

π

4

，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos

π

4

=（b+c）²-2bc-

2

bc，
由b+c=5+3

2

．a(chǎn)=

13

，可得13=（5+3

2

）²-（2+

2

）bc，
解得bc=15，
則△ABC的面積為S=

1

2

bcsinA=

1

2

×15×

2

2

=

15 2

4

．
故答案為：

15 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．