給定正整數(shù) n 和正數(shù) M,對于滿足條件≤M 的所有等差數(shù)列 a1,a2,a3,….,試求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.
【答案】分析:設(shè)公差為d,an+1=a,由S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)a+d得,,則有M≥,下面由基本不等式的性質(zhì)可解.
解答:解:設(shè)公差為d,an+1=a,
則S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a為首項(xiàng),d為公差的等差數(shù)列的前(n+1)項(xiàng)和,
所以S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)a+d.
同除以(n+1),得 
則M≥=

因此|S|≤(n+1)
且當(dāng) a=,d= 時,
S=(n+1)〔+
=(n+1)=(n+1)
由于此時4a=3nd,故 =
所以,S的最大值為(n+1)
點(diǎn)評:本題為數(shù)列和不等式的結(jié)合,正確變形時解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
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