Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+1$在（0，1）內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． 0≤a＜1
• B． -1＜a＜1
• C． 0＜a＜1
• D． $0＜a＜\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有最小值，可得f′（x）≥0在（0，1）上由極小值．利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求出即可

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+1$，（a∈R）．f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有最小值，
∴f′（x）=0在（0，1）上有解．函數(shù)有極小值也為最小值．
∴x-$\frac{a}{x}$=0，x∈（0，1）?$\sqrt{a}$＜1，a∈（0，1）．
并且x$∈（0，\sqrt{a}）$，f′（x）＜0，x∈（$\sqrt{a}$，1），f′（x）＞0，
x=$\sqrt{a}$函數(shù)取得最小值也極小值．
∴0＜a＜1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值，等價(jià)轉(zhuǎn)化、考查計(jì)算能力．