設(shè)函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定義域?yàn)镽，最小正周期為π，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有數(shù)學(xué)公式成立．
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的大致圖象；
（3）若兩相異實(shí)數(shù)x1、x2∈（0，π），且滿(mǎn)足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．

解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（）=4恒成立，
∴=4，即a2+b2=16．…①（1分）
∵f（x）的最小正周期為π，
∴ω==2，（2分）
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）max=f（）=4，
∴asin+bcos=4，
即a+b=8．…②（3分）
由①、②解得a=2，b=2．（4分）
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．（5分）
∵0＜x＜π，
∴＜2x+＜，列表如下：（6分）

∴函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：（8分）

（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，
當(dāng)0＜x1＜x2＜時(shí)，x1+x2=2×=，（9分）
∴f（x1+x2）=f（）=4=2；…（10分）
當(dāng)＜x1＜x2＜π時(shí)，x1+x2=2×=，（11分）
∴f（x1+x2）=f（）=4sin=2；…（12分）．
綜上，f（x1+x2）=2．（13分）
分析：（1）將f（x）=asinωx+bcosωx化為；f（x）=sin（ωx+φ），由題意可得，從而可求得a和b的值；
（2）由f（x）=4sin（2x+）即可做出其大致圖象；
（3）當(dāng)0＜x1＜x2＜時(shí)，x1+x2=，當(dāng)＜x1＜x2＜π時(shí)，x1+x2=，從而可求得f（x1+x2）的值．
點(diǎn)評(píng)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考察兩角和與差的正弦，突出五點(diǎn)作圖法的考察與應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求證：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）證明：存在函數(shù)t=φ（s）=as+b（s＞0），滿(mǎn)足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）設(shè)x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．問(wèn)：數(shù)列{
1
xn-1
}是否為等差數(shù)列？若是，求出數(shù)列{xn}中最大項(xiàng)的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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