Question

已知數(shù)列{a_m}是首項(xiàng)為a，公差為b的等差數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為b，公比為a的等比數(shù)列，且滿足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，其中a、b、m、n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若數(shù)列{1+a_m}與數(shù)列{b_n}有公共項(xiàng)，將所有公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)之和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)a_m=a+（m-1）b，知b_n=b•a^n-1．由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，知ab＜a+2b＜3b．由此能求出a．
（Ⅱ）設(shè)1+a+（m-1）b=b•a^n-1．由a=2，知3+（m-1）b=b•2^n-1，所以．由此能求出c_n．
（Ⅲ）由S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．知當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ-1=C_n+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)等號(hào)成立，所以S_n≥3（2n+1）．由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1．   …（1分）
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，所以ab＜a+2b＜3b．
又b＞0，所以a＜3．  …（2分）
因?yàn)閍b＞a+b，b＞a，則ab＞2a．又a＞0，
所以b＞2，從而有．    …（3分）
因?yàn)閍∈N*，故a=2．           …（4分）
（Ⅱ）設(shè)1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．    …（5分）
因?yàn)閍=2，則3+（m-1）b=b•2^n-1，
所以．   …（6分）
因?yàn)閎＞a=2，且b∈N*，所以2^n-1-（m-1）=1，
即m=2^n-1，且b=3． …（7分）
故c_n=b_n=3•2^n-1．         …（8分）
（Ⅲ）由題設(shè)，S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．   …（9分）
當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ-1=C_n+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)等號(hào)成立，
所以S_n≥3（2n+1）．    …（11分）
于是．
（12分）
因?yàn)镾₁=3，S₂=9，S₃=21，則
=．   …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地運(yùn)用放縮法進(jìn)行證明．注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．