Question

已知a、b是兩個非零向量，當a+tb（t∈R）的模取最小值時，
（1）求t的值；
（2）求證：b⊥（a+tb）．

Answer 1

分析：（1）設出兩個向量的夾角，表示出兩個向量的模長，對于模長形式，通常兩邊平方，得到與已知條件有關的運算，整理成平方形式，當?shù)讛?shù)為零時，結果最�。�
（2）本題要證明兩個向量垂直，這種問題一般通過向量的數(shù)量積為零來證明，求兩個向量數(shù)量積，根據(jù)上一問做出的結果，代入數(shù)量積的式子，合并同類項，得到數(shù)量積為零．得到垂直．

解答：（1）解：設

a

與

b

的夾角為θ，
∵|

a

+t

b

|²=（

a

+t

b

）²=|

a

|²+t²|

b

|²+2

a

•（t

b

）=|

a

|²+t²|

b

|²+2t|

a

||

b

|cosθ
=|

b

|²（t+

| a |

| b |

cosθ）²+|

a

|²sin²θ，
∴當t=-

| a |

| b |

  cosθ=-

|a||b|cosθ

|b|2

=-

a • b

| b |2

時，|

a

+t

b

|有最小值．
（2）證明：∵

b

•（

a

+t

b

）=

b

•（

a

-

a•b

|b|2

•

b

）=

a

•

b

-

a

•

b

=0，
∴

b

⊥（

a

+t

b

）．

點評：啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質．?