本小題滿分12分如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=1,AB=,BC=,AA1=。   (I)求證:A1B⊥B1C; (II)求二面角A1—B1C—B的大小。

(Ⅰ)    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

法一:

   (I)由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2,

所以AC⊥AB。

因?yàn)锳BC—A1B1C1是直三棱柱,面ABB1A1⊥面ABC,

所以AC⊥面ABB1A1!3分

,知側(cè)面ABB1A1是正方形,連結(jié)AB1

所以A1B⊥AB1。

由三垂線定理得A1B⊥B1C。  ………………6分

   (II)作BD⊥B1C,垂足為D,連結(jié)A1D。

由(I)知,A1B⊥B1C,則B1C⊥面A1BD,

于是B1C⊥A1D,

則∠A1DB為二面角

A1—B1C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC,

故二面角A1—B1C—B的大小為………………12分

 
 


解法二:由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB。

如圖建立空間直角坐標(biāo)系

  …2分

   (I),

……6分

   (II)作,垂足為D,連結(jié)A1D。

設(shè)

所以等于二面角A1—B1C—B的大小。  ………………10分

,故二面角A1—B1C—B的大小為……12分

練習(xí)冊系列答案
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