Question

廣東省汕頭市日前提出，要提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，努力實(shí)現(xiàn)“幸福汕頭”的共建共享．現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民，對(duì)他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：

幸福級(jí)別	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指數(shù)（分）	90	60	30	0
人數(shù)（個(gè)）	19	21	7	3

（I）求這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望（即平均值）；
（11）以這50人為樣本的幸福指數(shù)來(lái)估計(jì)全市市民的總體幸福指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級(jí)別為“非常幸�；蛐腋！笔忻袢藬�(shù)．求ξ的分布列；
（III）從這50位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人．記他的幸福指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，記他的幸福指數(shù)為n，求n＜m+60的概率P．

Answer 1

解：（Ⅰ）記Ex表示這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望，
∴．…（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3 …（2分）
…（3分）
…（4分）
…（5分）
…（6分）
∴ξ分布列為

ξ	0	1	2	3
P

…（7分）
（Ⅲ）方法一：設(shè)所有滿足條件的對(duì)立事件n≥m+60的概率為P₁
①滿足m=0且n=60的事件數(shù)為：…（8分）
②滿足m=0且n=90的事件數(shù)為：…（9分）
③滿足m=30且n=90的事件數(shù)為：…（10分）
∴…（11分）
所以滿足條件n＜m+60的事件的概率為．…（12分）
方法二：基本事件的總數(shù)為
滿足條件n＜m+60的有如下各種情況：
①滿足m=0時(shí)，n=0，30的事件數(shù)為：…（8分）
②滿足m=30時(shí)，n=0，30，60的事件數(shù)為：…（9分）
③滿足m=60時(shí)，n=0，30，60，90的事件數(shù)為：…（10分）
④滿足m=90時(shí)，n=0，30，60，90的事件數(shù)為：…（11分）
所以…（12分）
分析：（I）由數(shù)學(xué)期望（即平均值）的定義，結(jié)合圖表可得答案；
（II）可得ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求其概率，即可得其分布列；
（III）方法一，求對(duì)立事件n≥m+60的概率，進(jìn)而由P=1-P₁可得答案，方法二，直接列舉出符合n＜m+60的情況，由古典概型的公式可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．