Question

（2013•鹽城三模）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=

2

AC，D，E，F(xiàn)分別為線段AC，A₁A，C₁B的中點．
（1）證明：EF∥平面ABC；
（2）證明：C₁E⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點G，連接AG，F(xiàn)G，利用三角形的中位線定理即可得出FG

∥

.

1

2

C1C．利用三棱柱的性質(zhì)可得FG

∥

.

EA，再利用平行四邊形的判定和性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可得出；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)即可得出BD⊥側(cè)面ACC₁A₁．利用相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出∠AED+∠A1EC1=90°，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明．

解答：證明：（1）如圖所示，取BC的中點G，連接AG，F(xiàn)G．
又∵F為C₁B的中點，∴FG

∥

.

1

2

C1C．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A1A

∥

.

C1C，E為A₁A的中點，
∴FG

∥

.

EA，
∴四邊形AEFG是平行四邊形．
∴EF∥AG．
∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）∵點D是正△ABC的BC邊的中點，∴BD⊥AC，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，∴BD⊥側(cè)面ACC₁A₁．
∴BD⊥C₁E．
∵

A1C1

AE

=

A1E

AD

=

2

，
∴Rt△A₁C₁E∽Rt△AED，
∴∠A₁EC₁=∠ADE．
∴∠AED+∠A1EC1=90°，
∴C₁E⊥ED．
∵ED∩DB=D．
∴C₁E⊥平面BDE．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、直三棱柱的性質(zhì)可得FG

∥

.

EA、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行與垂直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．