Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
（1）求直線DB與平面A₁BCD₁所成角的大小；
（2）求四棱錐D-BCD₁A₁的體積．

Answer 1

解：（1）以D為坐標原點，分別以射線DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．
則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1）．
，，．
設(shè)是平面A₁BCD₁的法向量，則，即令z=1，則y=1，x=0，∴．
設(shè)直線DB與平面A₁BCD₁所成角為θ，則===．
由于，∴．
即直線DB與平面A₁BCD₁所成角的大小為；
（2）由（1）得．
∴點D到平面A₁BCD₁的距離．
∵四邊形A₁BCD₁是矩形，∴面積S=BC•CD₁=．
∴．
分析：（1）建立空間直角坐標系，如圖所示．利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得到線面角；
（2）利用點到平面的距離公式及四棱錐的體積計算公式即可得出．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角得到線面角；利用向量表示點到平面的距離公式，四棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．