在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點A的入射光線l1被直線l：反射，反射光線l2交y軸于B點．圓C過點A且與l1、l2相切．
（1）求l2所在的直線的方程和圓C的方程；
（2）設(shè)P、Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標(biāo)．

【答案】分析：（Ⅰ）直線l1：y=2，設(shè)設(shè)l1交l于D，則D（2，2）．由l的傾斜角為30°知反射光線l2所在的直線方程為．已知圓C與l1切于點A，設(shè)C（a，b），圓心C在過點D且與l垂直的直線上，知．由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)點B（0，-4）關(guān)于l的對稱點B'（x，y），則，，得．固定點Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B'、P、Q共線時，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值為B'C-3．由此能求出 PB+PQ的最小值及此時點P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）直線l1：y=2，
設(shè)l1交l于D，則D（2，2）．
∵l的傾斜角為30°，
∴l(xiāng)2的傾斜角為60°，…（2分）
∴，
∴反射光線l2所在的直線方程為y-2=（x-2）．
即．…（4分）
已知圓C與l1切于點A，設(shè)C（a，b），
∵圓心C在過點D且與l垂直的直線上，
∴①…（6分）
又圓心C在過點A且與l1垂直的直線上，
∴②，
由①②得，
圓C的半徑r=3．
故所求圓C的方程為．    …（10分）
（Ⅱ）設(shè)點B（0，-4）關(guān)于l的對稱點B'（x，y），
則，…（12分）
得．
固定點Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B'、P、Q共線時，PB+PQ最小，
故PB+PQ的最小值為為B'C-3．               …（14分）
，
得，
最小值． …（16分）
點評：本題主要考查圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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