【題目】如圖,△ABC中,sin = ,AB=2,點(diǎn)D在線段AC上,且AD=2DC,BD= .(Ⅰ)求:BC的長;(Ⅱ)求△DBC的面積.
【答案】解:(Ⅰ)因?yàn)閟in = ,所以cos∠ABC=1﹣2 =1﹣2× = . 在△ABC中,設(shè)BC=a,AC=3b,
由余弦定理可得: ①
在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得:
, .
因?yàn)閏os∠ADB=﹣cos∠BDC,所以有 ,所以3b2﹣a2=﹣6 ②
由①②可得a=3,b=1,即BC=3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos∠ABC= ,則sin∠ABC= = ,又AB=2,BC=3,
則△ABC的面積為 ABBCsin∠ABC= ,
又因?yàn)锳D=2DC,所以△DBC的面積為 ×2 =
【解析】(Ⅰ)由sin 的值,利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos∠ABC的值,設(shè)BC=a,AC=3b,由AD=2DC得到AD=2b,DC=b,在三角形ABC中,利用余弦定理得到關(guān)于a與b的關(guān)系式,記作①,在三角形ABD和三角形DBC中,利用余弦定理分別表示出cos∠ADB和cos∠BDC,由于兩角互補(bǔ),得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC,兩個(gè)關(guān)系式互為相反數(shù),得到a與b的另一個(gè)關(guān)系式,記作②,①②聯(lián)立即可求出a與b的值,即可得到BC的值;(Ⅱ)由角ABC的范圍和cos∠ABC的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin∠ABC的值,由AB和BC的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積,由AD=2DC,且三角形ABD和三角形BDC的高相等,得到三角形BDC的面積等于三角形ABC面積的 ,進(jìn)而求出三角形BDC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已知“體育迷”中有10名女性. 附:K2=
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”,已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性,若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2名,求至少有1名女性觀眾的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè), .
(1)令,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),離心率為 ,過點(diǎn)B(0,﹣2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C,D兩點(diǎn),右焦點(diǎn)設(shè)為F2 .
(1)求橢圓的方程;
(2)求△CDF2的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知α是三角形的內(nèi)角,且sinα+cosα= .
(1)求cos2α的值;
(2)把 用tanα表示出來,并求其值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< )的最小正周期為2 π,最小值為﹣2,且當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)取得最大值4. (Ⅰ)求函數(shù) f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若當(dāng)x∈[ , ]時(shí),方程f(x)=m+1有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”已成為當(dāng)下熱門的健身方式,小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,他隨機(jī)選取了其中的40人(男、女各20人),記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
(1)已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評(píng)定“積極型”,否則為“懈怠型”,根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(2)若小王以這40位好友該日走路步數(shù)的頻率分布來估計(jì)其所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,現(xiàn)從小王的所有微信好友中任選2人,其中每日走路不超過5000步的有人,超過10000步的有人,設(shè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)=2a,f′(2)=﹣b,其中常數(shù)a,b∈R. (Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x)e﹣x . 求函數(shù)g(x)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40m的半圓形(以O為圓心,AB為直徑)綠化區(qū)域,現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建.在AB的延長線上取點(diǎn)D,使OD=80m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2. 設(shè)∠AOC=x rad.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)張強(qiáng)同學(xué)說:當(dāng)∠AOC=時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S最大.張強(qiáng)同學(xué)的說法正確嗎?若不正確,請(qǐng)求出改建后的綠化區(qū)域面積S最大值.
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