Question

16．在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）判斷曲線C₁與曲線C₂的位置關系；
（2）設點M（x，y）為曲線C₂上任意一點，求2x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）將參數方程曲線C₁與曲線C₂化為普通方程，利用兩點間的距離公式即可判斷．
（2）利用參數方程轉化成三角函數的有界限求其最大值．

解答 解：（1）將C₁消去參數t，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$-1=y，化簡得到C₁的方程為x+y-1=0．
由ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），得ρ=$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{2}$sinθ，
∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ，即x²-$\sqrt{2}$x+y²+$\sqrt{2}$y=0，化為標準方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
圓心到直線的距離d：∵d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1．
故曲線C₁與曲線C₂相交．
（2）由題意：M（x，y）為曲線C₂上任意一點，可設$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$則：2x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{5}$sin（θ+φ），
∵sin（θ+φ）的最大值為1．
∴2x+y的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程的能力以及利用參數方程轉化成三角函數的有界限求其最大值的問題，屬于基礎題．