Question

已知二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對(duì)稱，且其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
（1）求這個(gè)函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（2^x），求函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上的值域；
（3）若函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），試討論此函數(shù)H（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，并說(shuō)出相應(yīng)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對(duì)稱，由此關(guān)系求出a值，且其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得f （0）=0，由此求出b，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)g（x）=f（2^x），是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，可先求出t=2^x在x∈[-3，2]上的值域，再求出二次函數(shù)f （ x ）的值域；
（3）函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），是一個(gè)偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，H（x）=f （ x ），故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究f （ x ）在x≥0時(shí)有幾個(gè)零點(diǎn)，

解答：解：（1）二次函數(shù)f （ x ）=x²+ax+b關(guān)于x=1對(duì)稱，且其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
∴-

a

2

=1，b=0，即a=-2，b=0，故函數(shù)的解析式為f （ x ）=x²-2x
（2）x∈[-3，2]，則t=2^x在x∈[-3，2]上的值域是[

1

8

，4]，由f （ x ）=x²-2x的性質(zhì)知，函數(shù)在x=1時(shí)取到最小值-1，在x=4時(shí)函數(shù)取到最大值8，故函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上的值域是[-1，8]．
（3）函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)），是一個(gè)偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，H（x）=f （ x ）-a，
當(dāng)a=0時(shí)，H（x）=f （ x ）=x²-2x在x≥0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)x=0，x=2，故函數(shù)H（x）有三個(gè)零點(diǎn)分別為x=0，x=2，x=-2
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，都大于0，故函數(shù)H（x）有四個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)a=-1時(shí)，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時(shí)有一個(gè)正零點(diǎn)，故函數(shù)H（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)a＜-1時(shí)，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，故函數(shù)H（x）沒(méi)有零點(diǎn)
當(dāng)a＞0時(shí)，f （ x ）=x²-2x-a在x≥0時(shí)有一個(gè)正零點(diǎn)，故函數(shù)H（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)零點(diǎn)的定義以及根據(jù)題設(shè)條件求出二次函數(shù)的解析式，依據(jù)對(duì)二次函數(shù)的零點(diǎn)的研究得出函數(shù)H（x）=f（|x|）-a（a為常數(shù)）零點(diǎn)的情況，由于參數(shù)a的取值范圍不同，函數(shù)零點(diǎn)的情況不同，本題利用分類探究對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的情況進(jìn)行了研究．要注意總結(jié)分類的依據(jù)．本題易因?yàn)榉诸悩?biāo)準(zhǔn)不清致錯(cuò)．