Question

如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD.

   (1)求二面角A-PB-D的大小,

   (2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使PC⊥平面ADE?若存在,確定E點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.

Answer 1

(1)解法一:聯(lián)結(jié)AC交DB于點(diǎn)O.       ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,    ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

作OF⊥PB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AF,則AF⊥PB. ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角.

∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB. 令PD=AD=2，則在RTABC中,PA=,AB=2.

   ∴PB=,∴.

   ∴在RTAOF中,sin,∴.

   ∴二面角A-PB-D的大小為.

   解法二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

       聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,取PA中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)DG.

∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

       又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

       ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

       ∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.

       ∴AB⊥平面PAD.

       ∵PD=AD,G為PA中點(diǎn), ∴GD⊥平面PAB.

       故向量分別是平面PBD與平面PAB的法向量.

       令PD=AD=2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴=(-2，2，0).

       ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1).

∴向量的夾角余弦為，

∴,∴二面角A-PB-D的大小為.

(2)解法一: 當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時(shí),有PC⊥平面ADE.

證明如下:

       取PC中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)EH,DH,則有EH∥BC,

又BC∥AD,故有EH∥AD.     ∴平面ADE即平面ADHE.

     ∵PD=DC,H為PC中點(diǎn), ∴PC⊥DH.又∵PD⊥平面ABCD，

      AD⊥CD，∴AD⊥PC.

∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE.

解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

     ∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.

  設(shè)E是線段PB上的一點(diǎn)，令.

     令PD=AD=2，則P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

 ∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).

∴. ∴.

令2(-)=0,得.

∴當(dāng),即點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時(shí),有AE⊥PC.又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.∴當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時(shí),有PC⊥平面ADE.