Question

已知橢圓C：的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，以AB弦為直徑的圓過坐標原點O，試探討點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，再設直線方程代入題意方程，利用韋達定理，及以AB弦為直徑的圓過坐標原點O，即可求得結論．
解答：解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意∴b=1，…．（2分）
∴所求橢圓方程為．…..（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，設AB方程為：x=m，此時A，B兩點關于x軸對稱，又以|AB|為直徑的圓過原點，
設A（m，m）代人橢圓方程得：…．（6分）
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴，．…．（8分）
又==．
由以|AB|為直徑的圓過原點，則有．…..（10分）
即：x₁x₂+y₁y₂=0，故滿足：得：4m²=3+3k²，所以m²=．
又點O到直線AB的距離為：．
綜上所述：點O到直線AB的距離為定值．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．