Question

3．若函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在（-1，1）上單調(diào)遞減，則m²+n²的取值范圍是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （3，+∞）
• D． [9，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出m，n的不等式組，然后利用線性規(guī)劃，表達(dá)式的幾何意義求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³+mx²+nx+1，
∴f′（x）=3x²+2mx+n，
∵f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴3x²+2mx+n≤0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2m+n≤0}\\{3+2m+n≤0}\end{array}\right.$，不等式組表示的可行域如圖陰影部分，
∴則m²+n²的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，顯然A（0，-3）到原點(diǎn)距離最小，所以則m²+n²≥9．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．