Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P（x，y）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用焦點到直線l：x-y-2=0的距離建立關于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；
（2）先設，，由（1）得到拋物線C的方程求導數(shù)，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；
（3）根據(jù)拋物線的定義，有，，從而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x₁+x₂=2x，x₁x₂=4y，x=y+2，將它表示成關于y的二次函數(shù)的形式，從而即可求出|AF|•|BF|的最小值．
解答：解：（1）焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離，解得c=1
所以拋物線C的方程為x²=4y
（2）設，
由（1）得拋物線C的方程為，，所以切線PA，PB的斜率分別為，
所以PA：①PB：②
聯(lián)立①②可得點P的坐標為，即，
又因為切線PA的斜率為，整理得
直線AB的斜率
所以直線AB的方程為
整理得，即
因為點P（x，y）為直線l：x-y-2=0上的點，所以x-y-2=0，即y=x-2
所以直線AB的方程為
（3）根據(jù)拋物線的定義，有，
所以=
由（2）得x₁+x₂=2x，x₁x₂=4y，x=y+2
所以=
所以當時，|AF|•|BF|的最小值為
點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的標準方程，考查利用導數(shù)研究曲線的切線方程，考查計算能力，有一定的綜合性．