Question

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源需從宏觀上考察其再生能力及被捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第n年年初的總量，nÎ N*，且，不考慮其他因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a、b、c．

(1)求，與的關系式．

(2)猜測：當且僅當，a，b，c，滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明)

(3)設a=2，c=1，為保證對任意，都有，nÎ N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)從第n年初到第n＋1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，因此， 即nÎ N*． (2)若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于，nÎ N*，從而由(*)式得恒等于0，nÎ N*．所以，即．因為，所以a＞b． 猜測：當且僅當a＞b，且時，每年年初魚群總量保持不變． (3)若b的值使得，nÎ N*，由，知，nÎ N*，特別地，有，即．而， 所以bÎ (0，1)，由此猜測b的最大允許值是1． 下證，當，b=1時，都有，nÎ N*． ①當n=1時，結論顯然成立． ②假設當n=k時結論成立， 即， 則當n=k＋1時， ． 又因為 ， 所以．故當n=k＋1時結論也成立． 由①、②可知，對于任意為nÎ N*都有． 綜上所述，為保證對任意，都有，nÎ N*，則捕撈強度b的最大允許值是1．