Question

已知函數f（x）=log₂[（x²+x+k）²+（x²+x+k）-2]，k∈R，
（1）求函數f（x）的定義域D（用區(qū)間表示），
（2）當k＜-2時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）設令t=x²+x+k，則f（t）=log₂（t²+t-2），得到x²+x+k＜-2，①或x²+x+k＞1，②分類討論即可求出定義域
（Ⅱ）根據復合函數的單調性以及利用導數求出函數的單調增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）令t=x²+x+k，
∴f（t）=log₂（t²+t-2），
∴t²+t-2＞0，解得：t＜-2或t＞1
∴x²+x+k＜-2，①或x²+x+k＞1，②
對于不等式①、②分別有：△₁=-4k-7與△₂=-4k+5
（1°）當k＜-

7

4

時，：△₁＞0，△₂＞0，此時不等式①、②對應的方程分別有不等根：
x₁=

1

2

（-1-

-4k-7

）與x₂=

1

2

（-1+

-4k-7

），x₃=

1

2

（-1-

-4k+5

），x₄=

1

2

（-1+

-4k+5

），
不難證明：x₃＜x₁＜x₂＜x₄，
所以不等式①的解集為（x₁，x₂），不等式②的解集為（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以當k＜-

7

4

時，函數f（x）的定義域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
（2°）當-

7

4

≤k≤

5

4

時，△₁≤0，△₂≥0，結合（1）可知：不等式①的解集為x∈∅
不等式②的解集為（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以當-

7

4

≤k≤

5

4

時，函數f（x）的定義域D=（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
（3°）當k＞

5

4

時，△₁＜0，△₂＜0，結合（1）可知：不等式①的解集為x∈∅，不等式②的解集為x∈R
所以當k＞

5

4

時，函數f（x）的定義域D=R                      
綜上所述：當k＜-

7

4

時，函數f（x）的定義域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
當-

7

4

≤k≤

5

4

時，函數f（x）的定義域D=（-∞，x₃）∪（x₄，+∞），
所以當k＞

5

4

時，函數f（x）的定義域D=R  
 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道：當k

(    )

(    )

＜-2時，函數f（x）的定義域D=（-∞，x₃）∪（x₁，x₂）∪（x₄，+∞），
令g（x）=（x²+x+k）²+（x²+x+k）-2，
∴g′（x）=[2（x²+x+k）+1]（2x+1）=4（x²+x+k+

1

2

）（x+

1

2

＞0，
∴

x+ 1 2 ＜0 x2+x+k+ 1 2 ＜0

或

x+ 1 2 ＞0 x2+x+k+ 1 2 ＞0

對于方程x²+x+k+

1

2

=0，△₃=-4k-1＞0恒成立，
解的x₅=

-1- -4k-1

2

，x₆=

-1+ -4k-1

2

，
故不等組的解集為（

-1- -4k-1

2

，-

1

2

）∪（

-1+ -4k-1

2

，+∞）
故函數的單調遞增區(qū)間為：（

-1- -4k-7

2

，-

1

2

）∪（

-1+ -4k+5

2

，+∞）

點評：本題考查了函數的定義域和函數的單調區(qū)間的求法，主要考查學生的分類討論的思想，屬于中檔題