Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）上有兩點(diǎn)A（m，f（m））、B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	-3a2+a	遞減?	-4a3-3a2+a	遞增?

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a處分別取得極值．
f（0）=-3a²+a，f（2a）=-4a³-3a²+a．由已知得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2a]上存在零點(diǎn)，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a²+a）（-4a³-3a²+a）≤0
∴a²（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得

1

4

≤a≤

1

3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

4

，

1

3

]．