Question

1．在數(shù)列{a_n}中，首項${a_1}=\frac{1}{2}$，前n項和為S_n，且${S_n}=2{a_{n+1}}-1（{n∈{N^*}}）$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項
（2）如果b_n=3（n+1）×2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=3（n+1）×2ⁿ•a_n=（n+1）•3ⁿ．利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}=2{a_{n+1}}-1（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-1-（2a_n-1），
化為：${a}_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_{n}$．
又n=1時，$\frac{1}{2}=2{a}_{2}-1$，解得a₂=$\frac{3}{4}$，滿足${a}_{2}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{3}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）b_n=3（n+1）×2ⁿ•a_n=（n+1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2×3+3×3²+4×3³+…+（n+1）•3ⁿ．
∴3T_n=2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ+（n+1）•3ⁿ⁺¹．
相減可得：-2T_n=2×3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹=3+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（n+1）•3ⁿ⁺¹．
可得：T_n=$\frac{（2n+1）•{3}^{n+1}}{4}$-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．