Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2-x）=log₂（x+2）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并加以證明；
（3）若f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組得答案；
（2）直接運用奇函數(shù)的概念加以判斷證明；
（3）把f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，然后結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性列式求解a的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=log₂（2-x）-log₂（x+2）．
要使原函數(shù)有意義，則

2-x＞0 x+2＞0

，解得-2＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2）；
（2）f（x）為定義域內(nèi)的奇函數(shù)．
事實上，∵f（-x）=log₂（2+x）-log₂（-x+2）=-f（x），
∴f（x）為定義域內(nèi)的奇函數(shù)；
（3）f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
即log₂（2-x）-log₂（x+2）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
也就是h（x）=ax²+（2a+1）x-2＞0在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
又∵a＞0，
則有h（

1

2

）=

5

4

a-

3

2

＞0，解得：a＞

6

5

．

點評：本題考查了函數(shù)定義域的求法，考查了函數(shù)奇偶性的判斷方法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)求解恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．