10.在極坐標(biāo)系中,設(shè)直線過點(diǎn)A($\sqrt{3}$,$\frac{2π}{3}$),B(3,$\frac{π}{2}$),且直線與曲線C:ρ=2rsinθ(r>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)r的值.

分析 把極坐標(biāo)及其極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用直線與圓相切的充要條件即可得出.

解答 解:點(diǎn)A($\sqrt{3}$,$\frac{2π}{3}$),B(3,$\frac{π}{2}$),分別化為直角坐標(biāo)A$(\sqrt{3}cos\frac{2π}{3},\sqrt{3}sin\frac{2π}{3})$,B$(3cos\frac{π}{2},3sin\frac{π}{2})$,即A$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$,B(0,3).
∴直線AB的方程為:y=$\frac{3-\frac{3}{2}}{0-(-\frac{\sqrt{3}}{2})}$x+3,化為:y=$\sqrt{3}x$+3.
直線與曲線C:ρ=2rsinθ(r>0)化為:ρ2=2rρsinθ,可得直角坐標(biāo)方程:x2+y2=2ry,配方為:x2+(y-r)2=r2,可得圓心C(0,r),半徑r.
∵直線與曲線C:ρ=2rsinθ(r>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴直線與圓C相切,∴$\frac{|-r+3|}{2}$=r,解得r=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)及其極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限的點(diǎn),過點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,若$\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影為$\sqrt{2}$,則△FPM的外接圓的方程為( 。
A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x-1)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=5D.x2+(y-1)2=2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.如圖,橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),點(diǎn)M在線段AB上,滿足BM=2MA,直線OM的斜率為$\frac{1}{4}$.
(1)求橢圓E的離心率e;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{11}{5}$,求橢圓E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.對(duì)于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(Ⅰ)給出一組函數(shù):f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1,則h(x)是否為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.
(Ⅱ)設(shè)f1(x)=x(x>0),f2(x)=$\frac{1}{x}$(x>0),取a>0,b>0,生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x1,x2且x1+x2=1.試問是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個(gè)m的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.橢圓M:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的焦距為2$\sqrt{3}$,點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓M上.
(1)求橢圓M的方程;
(2)如圖,橢圓M的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)P的直線l與橢圓M相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)C,D.
①求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍;
②當(dāng)AD與BC相交于點(diǎn)Q時(shí),試問:點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是否是定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.函數(shù)y=ex•sin2x的導(dǎo)數(shù)為( 。
A.ex•sin2x+ex•cos2xB.ex•sin2x+2ex•cos2x
C.ex•sin2x-ex•cos2xD.ex•sin2x-2ex•cos2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,直線x+y=2與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l1過點(diǎn)F1且與橢圓C的長軸垂直,動(dòng)直線l2與直線l1垂直,垂足為P,線段PF2的垂直平分線與直線l2交于點(diǎn)M,記M的軌跡為曲線D,設(shè)曲線D與x軸交于點(diǎn)Q,不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)R,S在曲線D上,且滿足$\overrightarrow{QR}$•$\overrightarrow{QS}$=5.
(i)求證:直線RS恒過定點(diǎn);
(ii)當(dāng)直線RS與x軸正半軸相交時(shí),求△QRS的面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0).
(Ⅰ)若點(diǎn)A(1,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),B($\frac{\sqrt{6}}{2}$,1)均在橢圓C上,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)(0,1),斜率為k(k<0)的直線l與圓O:x2+y2=$\frac{1}{2}$相切,且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓恒過原點(diǎn)O,則當(dāng)a∈[$\frac{\sqrt{42}}{6}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$]時(shí),求橢圓C的離心率e的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.如圖,已知單位圓x2+y2=1與x軸正半軸交于點(diǎn)P,當(dāng)圓上一動(dòng)點(diǎn)Q從P出發(fā)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到P點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng),設(shè)OQ掃過的扇形對(duì)應(yīng)的圓心角為x rad,當(dāng)0<x<2π時(shí),設(shè)圓心O到直線PQ的距離為y,y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)是如圖所示的程序框圖中的①②兩個(gè)關(guān)系式
(Ⅰ)寫出程序框圖中①②處得函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)若輸出的y值為$\frac{1}{2}$,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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